高超声速飞行器的模型线性化及极点配置设计
2010/4/6 14:31:00
1、引言
高超声速（Hypersonic）飞行器是指飞行速度大于5马赫（Mach）的飞行器，作为一种近空间飞行器，其研究与发展对军事战略与和平利用空间具有重大意义，已成为目前国际航空航天领域研究的热点。目前最具代表性的研究为美国的高超声速飞行器试验(Hyper-X)计划、高超声速技术(HyTech)计划和高超声速飞行(HyFly)计划[1][2][3][4][5][6][7]。
本文以美国NASA研制的Hyper-X系列高超声速飞行器为背景，针对高超声速飞行器在大范围高度非线性、强耦合、高动压弹性形变和参数时变等特性，研究其非线性模型的线性化解耦技术，分析了模型的运动特性，并研究其在特定平衡点的纵向线性模型镇定控制器的设计方法。
2、高超声速飞行器纵向模型线性化及其特性分析
本文研究的高超声速飞行器模型为NASA Langley实验室的通用模型[1][2]。在平衡巡航条件（V0=4525.6m/s,h=30km，γ=0deg，q=0deg/s下，其纵向动力学模型描述为：
(1)
其中状态量 
分别表示飞行速度，航迹角，迎角，飞行高度，俯仰角速度；μ m Iyy分别表示地球引力常量、飞行器质量，转动惯量；T，L，D分别为推力、升力、阻力。相应表达式分别为：T=0.5ρν2sCT，L=0.5ρν2sCL，D=0.5ρν2sCD。Myy为俯仰力矩，其表达式为
。其中CM,α，CM,δε，CM,q分别为迎角力矩系数，升降舵力矩系数，俯仰力矩系数。各气动力系数及力矩系数为
(2)
其中 η，δε分别为节流阀开度，升降舵偏角。在上述平衡点进行小扰动线性化，可得高超声速飞行器纵向线性模型为
(3)
其中 
，
, 
且相应系统矩阵为
D=0
针对高超声速飞行器纵向运动方程中的状态，可将5个状态分成快慢不同的变量。转动角速度矢量如俯仰角速率q，由于该变量变化快，故称之为快变量，快变量是为增加飞行器转动阻尼所必需的；姿态矢量如迎角α是慢变量，它的产生是由角速度矢量经过一次积分形成的，该状态变量是大迎角机动控制和稳定所必需的。高超声速飞行器纵向模型（3）的5个开环特征根为：
显然，系统存在一个正实数的极点，该极点对应的模态为短周期模态，对应的状态为快变量，设计目的是为了提高飞行机动性能，表明高超声速飞行器纵向模型是指数不稳定系统。高超声速飞行器在低速飞行时，开环特性是稳定的，但随着马赫数的增加，开环特性趋于不稳定。事实证明，马赫数越高，不稳极点个数有增加的趋势。同时系统存在一个几乎和原点重合的极点，该极点对应状态量h，这表明高度的变化引起的空气密度和静压的变化较小。此外，系统还存在一对很特殊的极点，这对极点非常靠近虚轴，该类极点对应慢变状态，对应的模态为长周期模态，表明高超声速飞行器具有一种缓慢的飞行航迹振荡特性。
3、高超声速飞行器纵向模型的极点配置设计
高超声速飞行器纵向线性化模型的不同特征值对应于系统的不同运动模态，整个系统的时间响应是各个运动模态的叠加。特征值能反映一个线性系统动态特性的重要特征，它包含了系统的稳定性、周期、阻尼等动态特性信息。在飞行动力学控制中，特征值分析是一项重要的技术手段。系统的可控性取决于状态方程（3）中的 矩阵，定义可控性矩阵
，若该阵满秩，则称系统是完全可控的。系统的可观测性只取决于状态方程的(A,C)矩阵，定义可观性矩阵
，若该阵满秩，则系统是完全可观的。经计算可得rank(Tc)=5，rank(T0)=5，表明高超声速飞行器纵向模型是完全可控可观的。
高超声速飞行器纵向模型（3）是指数不稳定系统，在实际飞行中，若不对其进行控制，系统将无法稳定飞行。因此考虑引入状态反馈，则系统的控制信号为u=r-Kx，其中r为系统的参考指令输入，则闭环系统的状态方程为
（4）
定理1 如果系统（3）为完全可控的，则存在状态反馈矩阵K任意配置闭环极点。即若(A,B)为可控对，则A-BK的特征值可配置到任意位置。
在平衡条件（V0=4525.6m/s,h0=30km，γ0=0deg，q0=0deg/s ，α0=0.978deg）下，选择参考输入指令分别为Vd=20m/s，hd=100m对高超声速飞行器纵向模型的速度和高度阶跃响应的仿真结果如图1和图2所示。
图1 对指令 的速度阶跃响应
图2 对指令 的高度阶跃响应
由图可以看出，经过极点配置后可使闭环系统所有的状态响应渐近稳定，并具有良好的动、静态跟踪性能。通过大量的仿真研究表明，针对高超声速飞行器在定直飞行平衡状态下，采用小扰动线性化和极点配置技术可保证其稳定性和动态跟踪性能。
4、结论
本文针对高超声速飞行器非线性动力学模型，采用小扰动线性化技术在平衡状态进行了线性化，分析了该指数不稳定模型的运动特性，并采用极点配置方法进行了状态反馈控制器设计，保证了闭环系统的稳定性和操纵性。由于高超声速飞行器飞行速度极高、飞行包络很大，其动力学具有高度非线性、强耦合和快时变特性，其控制问题仍是当今控制界的一大难题。因此研究高超声速飞行器的非线性控制、鲁棒控制以及自主控制技术将是具有重要理论意义和应用价值的研究方向。
参考文献
[1] John.D.Shaughnessy etal. Hypersonic vehicle simulation model: Win
高超声速（Hypersonic）飞行器是指飞行速度大于5马赫（Mach）的飞行器，作为一种近空间飞行器，其研究与发展对军事战略与和平利用空间具有重大意义，已成为目前国际航空航天领域研究的热点。目前最具代表性的研究为美国的高超声速飞行器试验(Hyper-X)计划、高超声速技术(HyTech)计划和高超声速飞行(HyFly)计划[1][2][3][4][5][6][7]。
本文以美国NASA研制的Hyper-X系列高超声速飞行器为背景，针对高超声速飞行器在大范围高度非线性、强耦合、高动压弹性形变和参数时变等特性，研究其非线性模型的线性化解耦技术，分析了模型的运动特性，并研究其在特定平衡点的纵向线性模型镇定控制器的设计方法。
2、高超声速飞行器纵向模型线性化及其特性分析
本文研究的高超声速飞行器模型为NASA Langley实验室的通用模型[1][2]。在平衡巡航条件（V0=4525.6m/s,h=30km，γ=0deg，q=0deg/s下，其纵向动力学模型描述为：
(1)分别表示飞行速度，航迹角，迎角，飞行高度，俯仰角速度；μ m Iyy分别表示地球引力常量、飞行器质量，转动惯量；T，L，D分别为推力、升力、阻力。相应表达式分别为：T=0.5ρν2sCT，L=0.5ρν2sCL，D=0.5ρν2sCD。Myy为俯仰力矩，其表达式为。其中CM,α，CM,δε，CM,q分别为迎角力矩系数，升降舵力矩系数，俯仰力矩系数。各气动力系数及力矩系数为
(2)(3)，, 且相应系统矩阵为D=0
针对高超声速飞行器纵向运动方程中的状态，可将5个状态分成快慢不同的变量。转动角速度矢量如俯仰角速率q，由于该变量变化快，故称之为快变量，快变量是为增加飞行器转动阻尼所必需的；姿态矢量如迎角α是慢变量，它的产生是由角速度矢量经过一次积分形成的，该状态变量是大迎角机动控制和稳定所必需的。高超声速飞行器纵向模型（3）的5个开环特征根为：
显然，系统存在一个正实数的极点，该极点对应的模态为短周期模态，对应的状态为快变量，设计目的是为了提高飞行机动性能，表明高超声速飞行器纵向模型是指数不稳定系统。高超声速飞行器在低速飞行时，开环特性是稳定的，但随着马赫数的增加，开环特性趋于不稳定。事实证明，马赫数越高，不稳极点个数有增加的趋势。同时系统存在一个几乎和原点重合的极点，该极点对应状态量h，这表明高度的变化引起的空气密度和静压的变化较小。此外，系统还存在一对很特殊的极点，这对极点非常靠近虚轴，该类极点对应慢变状态，对应的模态为长周期模态，表明高超声速飞行器具有一种缓慢的飞行航迹振荡特性。3、高超声速飞行器纵向模型的极点配置设计
高超声速飞行器纵向线性化模型的不同特征值对应于系统的不同运动模态，整个系统的时间响应是各个运动模态的叠加。特征值能反映一个线性系统动态特性的重要特征，它包含了系统的稳定性、周期、阻尼等动态特性信息。在飞行动力学控制中，特征值分析是一项重要的技术手段。系统的可控性取决于状态方程（3）中的 矩阵，定义可控性矩阵
，若该阵满秩，则称系统是完全可控的。系统的可观测性只取决于状态方程的(A,C)矩阵，定义可观性矩阵，若该阵满秩，则系统是完全可观的。经计算可得rank(Tc)=5，rank(T0)=5，表明高超声速飞行器纵向模型是完全可控可观的。高超声速飞行器纵向模型（3）是指数不稳定系统，在实际飞行中，若不对其进行控制，系统将无法稳定飞行。因此考虑引入状态反馈，则系统的控制信号为u=r-Kx，其中r为系统的参考指令输入，则闭环系统的状态方程为
（4） 根据定理1可知，本文研究的高超声速飞行器纵向模型(3)可通过设计反馈矩阵K使闭环系统渐近稳定。考虑物理实际系统的实现，设期望的闭环极点为p=[-0.9，-0.5，-0.5，-0.1+0.1i，-0.1-0.1i]，相应状态反馈矩阵K为
图1 对指令 的速度阶跃响应
图2 对指令 的高度阶跃响应
4、结论
本文针对高超声速飞行器非线性动力学模型，采用小扰动线性化技术在平衡状态进行了线性化，分析了该指数不稳定模型的运动特性，并采用极点配置方法进行了状态反馈控制器设计，保证了闭环系统的稳定性和操纵性。由于高超声速飞行器飞行速度极高、飞行包络很大，其动力学具有高度非线性、强耦合和快时变特性，其控制问题仍是当今控制界的一大难题。因此研究高超声速飞行器的非线性控制、鲁棒控制以及自主控制技术将是具有重要理论意义和应用价值的研究方向。
参考文献
[1] John.D.Shaughnessy etal. Hypersonic vehicle simulation model: Win
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