现代控制系统线性系统状态空间

　　状态和状态空间等概念很早以前就在力学和电工学中得到了应用。状态变量法是系统的时域描述法，它反应了系统内部的全部信息，又称内部描述法。20世纪50年代后期贝尔曼等人将状态变量法引入控制工程领域之后，这种方法就得到了日益广泛的应用，成为现代控制系统最基本的方法。为了准确理解和应用状态变量法，下面给出状态、状态变量、状态向量及转台空间等术语的定义。

状态：系统的状态是指系统过去、现在和将来的状况。比如对一个作直线运动的质点构成的系统，其状态就是质点的位置和速度。

状态变量：系统的状态变量是指能完全表征系统运动状态的最小一组变量。这里所说的“完全表征”，是指系统所有可能的运动状况都能表达出来，也就是说，x1(t), x2(t)……xn(t),如果是某个n阶系统的一组状态变量，就必须满足下列两个条件：

（1）在任何时刻t=t0，这组状态变量的值x1(t0), x2(t0)……xn(t0)表示系统在该时刻的状态；

（2）当t>=t0时的输入u(t)给定，且上述初始状态确定时，状态变量能完全表征系统在t>=t0的行为。

而所谓“最小一组变量”，是指x1(t), x2(t)……xn(t)为完全表征系统行为所必须的最少个数的一组状态变量，在这组变量中各个状态变量是相互独立、线性无关的，减少任一个都将破坏表征的完整性，而增加变量个数度对完整表征系统行为又是多余的。这里，最小一组变量的个数就是系统的阶数。因此，对一个用n阶微分方程描述的系统来说，它有且仅有n个独立的状态变量。

状态向量：若一个系统有n个彼此独立的状态变量x1(t), x2(t)……xn(t)，用这n个状态变量作为分量所构成的向量X(t)，称为状态向量，即

X(t)=[x1(t)  x2(t)  …  xn(t)]T

状态空间：以状态向量X(t)的各个分量x1(t), x2(t)……xn(t)为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间。系统在任一时刻的状态都可以用状态空间中的一点来表示。如果已知初始时刻 的状态X(t0)，就得到状态空间中的一个初始点：随着时间的推移，X(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，即所谓的状态轨迹。