圆柱齿轮传动的强度计算

1 直齿圆柱齿轮传动的强度计算 1.齿面接触疲劳强度计算 为了保证在预定寿命内齿轮不发生点蚀失效，应进行齿面接触疲劳强度计算。因此，齿轮接触疲劳强度计算准则为：齿面接触应力σH小于或等于许用接触应力σHP，即σH≤σHP 赫兹公式 由于直齿轮在节点附近往往是单对齿啮合区，轮齿受力较大，故点蚀首先出现在节点附近。因此，通常计算节点的接触疲劳强度。

图a表示一对渐开线直齿圆柱齿轮在节点接触的情况。为了简化计算，用一对轴线平行的圆柱体代替它。两圆柱的半径ρ1、ρ2分别等于两齿廓在节点处的曲率半径，如图b所示。由弹性力学可知，当一对轴线平行的圆柱体相接触并受压力作用时，将由线接触变为面接触，其接触面为一狭长矩形，在接触面上产生接触应力，并且最大接触应力位于接触区中线上，其数值为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1533239h9gbdts34059b3d.gif" <="" p="">式中 σH-接触应力（Mpa） Fn-法向力（N） L-接触线长度（mm） <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153324tjfujjqjpp5unfnf.gif" <="" p=""> rS-综合曲率半径（mm）； �-正号用于外接触，负号用于内接触 ZE-材料弹性系数（<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1533241gtlv6rgu08g18nd.gif" <="" p="">），<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153325cw23c2wudz25dcxu.gif" <="" p="">，其中E1、E2分别为两圆柱体材料的弹性模量（MPa）；m1、m2分别为两圆柱体材料的泊松比。 上式表明接触应力应随齿廓上各接触点的综合曲率半径的变化而不同，且靠近节点的齿根处最大（图c、d）。但为了简化计算，通常控制节点处的接触应力。 节点处的参数 （1）综合曲率半径 由图可知，<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1533259zfffgcs5usffuxf.gif" <="" p="">，代入rE公式得 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153325ztiz5aw59t24afis.gif" <="" p="">式中：<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153335efsxsxihxdgqdiiy.gif" <="" p="">，称为齿数比。对减速传动，u=i；对增速传动，u=1/i。 因<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153335zyg9tmjwf2hfd9au.gif" <="" p="">，则有 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153336qs0fl5ll2h6rfsq4.gif" <="" p="">（2）计算法向力 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1533395wnmz8lcjsn0mt0c.gif" <="" p="">（3）接触线长度L 引入重合度系数Ze，令接触线长度 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153339x2szsx9z12wb6s68.gif" <="" p="">将上述参数代入最大接触应力公式得 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153340g17666u17v2vki11.gif" <="" p="">接触疲劳强度计算公式 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153341nz9jnse34n4h6gje.gif" <="" p="">令<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1533411k134fnbbk39k11b.gif" <="" p="">，称为节点区域系数。 则得 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153341nuuszzn8x8hnnch6.gif" <="" p="">(1) 齿面接触疲劳强度的校核公式 齿面接触疲劳强度的校核公式为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153342p6cdz4fk66mzn3ng.gif" <="" p="">(2) 齿面接触疲劳强度设计公式 设齿宽系数 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1533423ow3scge8n8heuew.gif" <="" p="">，并将<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153342ggszw773f473wzqz.gif" <="" p="">代入上式，则得齿面接触疲劳强度的设计公式 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1533435ugu111srbq5k2rq.gif" <="" p="">式中:　d1-小齿轮分度圆直径（mm）； ZE-材料弹性系数(<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153346qroqvl1voorv0302.gif" <="" p="">)，按下表查取；

注：泊松比m1＝m2＝0.3 ZH-节点区域系数，考虑节点处轮廓曲率对接触应力的影响，可由下左图查取。对于标准直齿轮，a=250，ZH=2.5 Ze-重合度系数，考虑重合度对单位齿宽载荷的影响，其值可由下右图查取

接触疲劳强度公式应用说明 在齿面接触疲劳强度计算中，配对齿轮的接触应力应相等，即σH1=σH2。但两齿轮的许用接触应力分别与各自齿轮的材料、热处理、应力循环次数有关，一般不相等，即σHP1=σHP2。因此，在使用设计公式或校核公式时，应取σHP1和σHP2中较小者代入计算。 2. 齿根弯曲疲劳强度计算 计算准则 为了保证在预定寿命内不发生轮齿断裂失效，应进行齿根弯曲疲劳强度计算。其计算准则为：齿根弯曲应力σF小于或等于许用弯曲应力σFP，即 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153356485qzqpg4zxmqqz5.gif" <="" p="">受力的简化 由于齿轮轮体的刚度较大，因此可将轮齿看作为悬臂梁。其危险截面可用30�切线法确定（如下左图），即作与轮齿对称线成30�角并与齿根过渡圆弧相切的两条切线，通过两切点并平行于齿轮轴线的截面即为轮齿危险截面。

30�切线法确定危险截面 最大弯矩的载荷作用点 理论分析可知：齿根产生最大弯矩的载荷作用点应为单对齿啮合区的外界点D（如上右图），但计算比较复杂，通常用于高精度齿轮传动（6级精度以上）的弯曲强度计算。对于制造精度较低（如7、8、9级精度）的齿轮传动，为了简化计算，通常假设全部载荷作用于齿顶并仅由一对齿承担。对由此引起的误差，用重合度系数Ye予以修正。 如上左图所示，作用于齿顶的法向力Fn，可分解为相互垂直的两个分力：切向分力FncosaF使齿根产生弯曲应力和切应力，径向分力FnsinaF使齿根产生压应力。其中切应力和压应力起得作用很小，疲劳裂纹往往从齿根受拉边开始。因此，只考虑起主要作用的弯曲拉应力，并以受拉侧为弯曲疲劳强度计算的依据。对切应力、压应力以及齿根过渡曲线的应力集中效应的影响，用应力修正系数Ysa予以修正。 齿根疲劳弯曲强度计算公式 设力臂为hF，危险截面宽度为SF，齿根危险截面的名义弯曲应力为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153358pl6ypa6acpirxici.gif" <="" p="">式中：<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153359o05ud654dzbeo6h0.gif" <="" p="">，称为齿形系数。 (1)齿根弯曲疲劳强度校核公式 计入载荷系数K、重合度系数Ye、应力修正系数Ysa，则得齿根弯曲疲劳强度的校核公式为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153359ufr9maunarcszbnt.gif" <="" p="">将<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153359ny71eqyeqpzvcgfh.gif" <="" p="">代入上式，可得齿根弯曲疲劳强度的设计公式 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153400ipslm6qjcl6z9m9i.gif" <="" p="">式中 YFa-为载荷作用于齿顶的齿形系数，用以考虑齿廓形状对齿根弯曲应力sF的影响。YFa是无因次量，凡影响齿廓形状的参数（如Z、x、α等）都影响YFa（下上图），而与模数无关。YFa值可由下下图查取。

<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153401ex0lxcfxxgm8gqix.gif" <="" p="">YSa-应力修正系数，其值可由下图查取。 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153403q757fbt7qzluqdga.gif" <="" p="">Ye-重合度系数，根据重合度ea计算，按 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153403r8wdrdl80orzgarp.gif" <="" p="">σFP-许用弯曲应力（Mpa）,按式 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153407htohta575a6a71mz.gif" <="" p="">计算。 弯曲强度公式应用说明 在齿根弯曲疲劳强度计算中，配对齿轮的齿形系数YFa、应力修正系数Ysa、许用弯曲应力σFP可能不相同。因此，在校核计算时，两齿轮要分别进行；而在使用设计公式时，应取YFa1Ysa1/σFP1和YFa2Ysa2/σFP2中的较大者代入计算。 2 齿轮传动的许用应力和设计参数选择 1.许用应力 （1）许用接触应力σHP 许用接触应力为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1534074ix8wpt8vciyxior.gif" <="" p="">式中：σHlim-失效概率为1%时，试验的齿面接触疲劳极限，由材料的σHlim查取。图中ML、MQ、ME表示对材料质量和热处理要求的等级（ML-低、MQ-中、ME-高），一般按MQ选择σHlim。 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1534084sfwyv6n8w1hyys1.gif" <="" p="">ZN-接触疲劳强度的寿命系数，其值可根据所设计齿轮的应力循环次数N=60nkth（n为齿轮转速，k为齿轮每转一周同侧齿面啮合的次数，th为齿轮设计的工作小时数），由接触疲劳强度寿命系数ZN查取。 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153412jajeheqvei5vk9zx.gif" <="" p="">ZW-工作硬化系数；考虑软（大齿轮）硬（小齿轮）齿面组合传动过程中，小齿轮对大齿轮齿面产生冷作硬化，使大齿轮的许用接触应力得以提高，故引进该系数。其值可按下式计算： <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1534139977h9o4hyw96297.gif" <="" p="">式中 　HB为大齿轮齿面的布氏硬度值；当HB≤130HBS时，取ZW=1.2；当HB≥470HBS时，取ZW=1； ZX-接触疲劳强度的尺寸系数，考虑尺寸增大使材料强度降低的系数,其值由图查取； <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153413oekqyc5o65oz12cy.gif" <="" p="">SH-接触疲劳强度的最小安全系数，可由最小安全系数参考值查取。 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153415pmvwasegmphgicm3.gif" <="" p="">(2) 许用弯曲应力σFP 许用弯曲应力为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153415rr0kb69e9bv9m6hz.gif" <="" p="">式中：σFlim-失效概率为1%时，试验齿轮的弯曲疲劳极限，由齿轮材料弯曲疲劳极限应力σFlim查取。当双向受载时，应将查得的σFlim值乘以0.7 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153418361o83y6j2c11ez9.gif" <="" p="">YN--弯曲疲劳强度计算的寿命系数，可根据所设计的齿轮的应力循环次数N,由抗弯疲劳强度寿命系数YN查取 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1534190lrg0ua0ukklrlqp.gif" <="" p="">YST-实验齿轮的应力修正系数,取YST=2.0； YX-弯曲疲劳强度的尺寸系数，由图查取； <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1534193hiocx7mchfe99hc.gif" <="" p="">SF-弯曲疲劳强度的安全系数，可由最小安全系数参考值查取。 2. 齿轮传动的主要参数选择 几何参数的选择对齿轮的结构尺寸和传动质量有很大影响，。在满足强度条件下，应合理选择。 (1) 齿数比u 为了避免齿轮传动的尺寸过大，齿数比u不宜过大，一般取u≤7。当要求传动比大时，可以采用两级或多级齿轮传动。 (2) 模数m和小齿轮齿数z1 模数m直接影响齿根弯曲强度，而对齿面接触强度没有直接影响。用于传递动力的齿轮，一般应使m>1.5～2mm,以防止过载时轮齿突然折断。 标准齿轮zmin≥17，若允许轻微根切或采用变位齿轮，zmin可以少到14或更少。 对于闭式软齿面齿轮传动，按齿面接触强度确定小齿轮直径d1后，在满足抗弯疲劳强度的前提下，宜选取较小的模数和较多的齿数，以增加重合度，提高传动的平稳性，降低齿高，减轻齿轮重量，并减少金属切削量。通常取z1=20～40。对于高速齿轮传动还可以减小齿面相对滑动，提高抗胶合能力。 对于闭式硬齿面和开式齿轮传动，承载能力主要取决于齿根弯曲疲劳强度，模数不宜太小，在满足接触疲劳强度的前提下，为避免传动尺寸过大，z1应取较小值，一般取z1＝17～20。 配对齿轮的齿数以互质数为好，至少不要成整数比，以使所有齿轮磨损均匀并有利于减小振动。 (3) 齿宽系数Fd 当载荷一定时，Fd选大值，可减小齿轮直径和中心距，使传动更紧凑。但齿宽将增大，载荷沿齿向分布不均匀现象会更严重。因此应合理选择Fd。对于闭式固定传动比的齿轮传动，当齿轮精度高并轴的刚度大时，可选较大的值Fd。一般可参考齿宽系数Fd的推荐值选取。 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153420ss5cadsawlctz9sn.gif" <="" p="">对于基于中心距的齿宽系数Fa（＝b/a），与 的关系为Fd=Fa(u 1)/2（外啮合），设计时可换算。 为保证装配后的接触宽度，通常取小齿轮齿宽b1比大齿轮齿宽b2大5～10mm，强度计算时取b=b2大。 (4) 变位系数x 采用变位齿轮传动的主要目的：提高齿轮强度，改善传动质量，避免根切，凑中心距等。为了实现这些目的，必须合理选择变位系数。以下介绍一种线图法，首先根据使用要求，以齿数和zS(=z1 z2)在图外啮合齿轮变位系数选择范围a上选择适当的总变位系数xS(=x1 x2)。然后用图外啮合齿轮变位系数选择范围b分配变位系数x1和x2。即以zS/2和zS/2的坐标值求得交点，过交点按相邻的两条射线L作射线，再分别过横坐标z1和z2作垂线与该射线相交，交点的纵坐标即为变位系数x1和x2的值。 3 斜齿圆柱齿轮传动的强度计算 斜齿圆柱齿轮传动的强度计算是以其当量直齿轮为对象进行的。因此，直齿圆柱齿轮的强度计算的方法原则上适用于斜齿轮传动，并考虑斜齿轮传动的特点，求出其强度计算公式。 1. 齿面接触疲劳强度计算 斜齿圆柱齿轮的齿面接触应力仍按节点处计算，以法面齿形（当量齿轮的齿形）进行分析，并综合考虑螺旋角的影响。 斜齿轮的计算法向力为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/15342406kb09uzsfbiff77.gif" <="" p="">斜齿轮节点处的综合曲率半径应按法面计算，其法面曲率半径rn为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/15342452yp4yzdbpryddue.gif" <="" p="">于是： <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153425mmmmim5s6mtsb8ls.gif" <="" p="">由于斜齿轮的接触线是倾斜的，对接触疲劳强度产生有利的影响，故引进螺旋角系数<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153425lp3jynmzug1upjuj.gif" <="" p="">予以考虑。斜齿轮接触线的长度L不仅要考虑端面重合度ea，还要考虑轴向重合度eβ的影响。引入重合度Ze，则其平均长度为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153425g6kubsbibrsiirgs.gif" <="" p="">将上述关系式代入式 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153426czkzwa42ckscj8wk.gif" <="" p="">得 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153426o458hkxyxszb0bkg.gif" <="" p="">令 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153427prntphpnzf240ini.gif" <="" p="">则齿面疲劳强度的校核公式为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153427m3jhu11jthxt2fh1.gif" <="" p="">取<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1534276g1688648eg646ez.gif" <="" p="">带入上式，则得齿面接触疲劳强度的设计公式 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153428baexbhbzxxtzh00e.gif" <="" p="">式中 ZH-节点区域系数，按图节点区域系数ZH查取 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153428potrptuzuqsw0utd.gif" <="" p="">Ze-重合度系数，按图重合度系数Ze查取； <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153429kyzii8z8yk8262bh.gif" <="" p="">Zβ-螺旋角系数，由下式计算 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153430z9ch616okm4cnh2o.gif" <="" p="">其他参数与直齿轮相同。 2 根弯曲疲劳强度计算 斜齿轮的齿根弯曲疲劳强度计算，通常按其法面当量齿轮进行，各参数均为法面参数。由于斜齿轮的接触线是倾斜的，轮齿多为局部折断，其承载能力比直齿轮显著增加。因此，螺旋角对齿根弯曲强度产生的有利影响，用螺旋角系数Yβ予以考虑。则齿根弯曲疲劳强度的校核公式为 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/1534300f0wydyz303dcy0w.gif" <="" p="">取<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153430qe5d4q5nie5g5g45.gif" <="" p="">，带入上式，得齿根弯曲疲劳强度的设计公式 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153431j1kj1jpxeka2tkky.gif" <="" p="">式中 　YFa-齿形系数，按当量齿数 ，由图外齿轮的齿形系数YFa查取； YSa-应力修正系数，按当量齿数 ，由图应力修正系数YSa查取； Ye-重合度系数，根据端面重合度系数 和轴向重合度 ，由下式计算 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153434c4jzj0wm0qz1mnjj.gif" <="" p="">式中<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153434u2rnpn0ro9nrurnr.gif" <="" p="">为当量齿轮的端面重合度，<img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153435iy37v3m993unm3q8.gif" <="" p=""> Yβ-螺旋角系数，根据螺旋角β和轴向重合度eβ，由下式计算 <img src="http://fs.gongkong.com/uploadfile/techarticle/import/153435rr1h1z5b1haxu3at.gif" <="" p="">当eβ>1时，取eβ=1；当β>30�时，取β=30�。其他参数与直齿轮传动相同。